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Todas as medidas, incluindo medidas ultra-sônicas, por mais cuidadosas e científicas, estão sujeitas a algumas incertezas. A análise de erros é o estudo e a avaliação dessas incertezas. Suas duas principais funções são permitir ao praticante estimar quão grande são as incertezas e ajudá-lo a reduzi-las quando necessário. Como a ultra-sons depende das medições, a avaliação e minimização das incertezas é crucial. Na ciência, a palavra erro não significa erro ou erro, mas sim incerteza inevitável de todas as medidas. Como eles não podem ser evitados, os erros neste contexto não são erros estritos. Na melhor das hipóteses, eles podem ser feitos tão pequenos quanto razoavelmente possível, e seu tamanho pode ser estimado de forma confiável. Para ilustrar a inevitável ocorrência de incertezas em torno das tentativas de medição, consideremos um carpinteiro que deve medir a altura de uma entrada para um cofre de raios X para instalar uma porta. Como uma primeira medida áspera, ela pode simplesmente olhar para a entrada e estimar que tem 210 cm de altura. Esta medida bruta certamente está sujeita à incerteza. Se pressionado, o carpinteiro pode expressar essa incerteza ao admitir que a altura poderia ser tão pouco quanto 205 ou até 215 cm. Se ela quisesse uma medição mais precisa, ela usaria uma fita métrica, e ela poderia achar que a altura é de 211,3 cm. Esta medida certamente é mais precisa do que a estimativa original, mas obviamente ainda está sujeita a alguma incerteza, uma vez que é inconcebível que ela possa conhecer a altura para ser exatamente 211.3000 em vez de 211.3001 cm, por exemplo. Há muitas razões para essa incerteza restante. Algumas dessas causas de incerteza poderiam ser removidas se cuidados suficientes fossem tomados. Por exemplo, uma fonte de incerteza pode ser a falta de iluminação que dificulta a leitura da fita, o que pode ser corrigido pela iluminação melhorada. Por outro lado, algumas fontes de incerteza são intrínsecas ao processo de medição e nunca podem ser completamente removidas. Por exemplo, suponhamos que a fita de carpinteiros seja graduada em meio centimetres. O topo da porta provavelmente não coincidirá precisamente com uma das marcas de meio centímetro, e, se não, o carpinteiro deve estimar exatamente onde o topo está entre duas marcas. Mesmo que a parte superior coincida com uma das marcas, a marca em si é talvez um milímetro de largura, então ela deve estimar exatamente onde o topo está dentro da marca. Em ambos os casos, o carpinteiro, em última instância, deve estimar onde a parte superior da porta está em relação às marcas de sua fita, e essa necessidade causa alguma incerteza em sua resposta. Ao comprar uma fita melhor com marcas mais próximas e mais finas, o carpinteiro pode reduzir sua incerteza, mas não pode eliminá-la completamente. Se ela se tornar obsessivamente determinada a encontrar a altura da porta com a maior precisão tecnicamente possível, ela poderia comprar um interferômetro laser caro. Mas mesmo a precisão de um interferômetro está limitada a distâncias na ordem do comprimento de onda da luz (cerca de 0,000005 metros). Embora agora pudesse medir a altura com uma precisão fantástica, ela ainda não saberia exatamente a altura da entrada. Além disso, à medida que o carpinteiro se esforça por uma maior precisão, ela encontrará um importante problema de princípio. Ela certamente descobrirá que a altura é diferente em diferentes lugares. Mesmo em um lugar, ela descobrirá que a altura varia se a temperatura e a umidade variarem, ou mesmo se ela acidentalmente esfrega uma fina camada de sujeira. Em outras palavras, ela descobrirá que não existe uma altura exata da entrada. Este tipo de problema é chamado de problema de definição (o alto da porta não está bem definido e desempenha um papel importante em muitas medidas científicas). Nossas experiências dos carpinteiros ilustram o que é encontrado para ser geralmente verdadeiro. Nenhuma quantidade física (uma espessura, o tempo entre os ecos de pulso, a posição do transdutor, etc.) pode ser medida com total certeza. Com cuidado, podemos reduzir as incertezas até serem extremamente pequenas, mas eliminá-las por completo é impossível. Nas medições diárias, normalmente não nos preocupamos em discutir as incertezas. Às vezes, as incertezas simplesmente não são interessantes. Se dissermos que a distância entre o lar e a escola é de 3 milhas, não importa (para a maioria dos propósitos) se isso significa algum lugar entre 2,5 e 3,5 milhas ou em algum lugar entre 2,99 e 3,01 milhas. Muitas vezes, as incertezas são importantes, mas podem ser permitidas por instinto e sem consideração explícita. Quando nosso carpinteiro vem para caber sua porta, deve saber sua altura com uma incerteza que seja menos de 1 milímetro ou assim. No entanto, enquanto a incerteza for pequena, a porta será (para todos os efeitos práticos) um ajuste perfeito, os raios-x não irão escorrer, e sua preocupação com a análise de erros chegará ao fim. Erros experimentais e este capítulo É em grande parte um tutorial sobre como lidar com erros experimentais de medição. Grande parte do material foi amplamente testado com alunos de ciências em diversos níveis da Universidade de Toronto. Livros inteiros podem e foram escritos sobre este assunto, mas aqui destilamos o tópico até o essencial. No entanto, nossa experiência é que, para iniciantes, uma abordagem iterativa para este material funciona melhor. Isso significa que os usuários digitalizar primeiro o material neste capítulo, em seguida, tentar usar o material em sua própria experiência, em seguida, passar o material novamente, em seguida. A EDA fornece funções para facilitar os cálculos exigidos pela propagação de erros e essas funções são introduzidas na Seção 3.3. Essas funções de propagação de erros estão resumidas na Seção 3.5. 3.1.1 O objetivo da análise de erros Para estudantes que apenas participam de palestras e lê livros didáticos nas ciências, é fácil perceber que as ciências físicas se preocupam com a manipulação de números precisos e perfeitos. As palestras e os livros de texto geralmente contêm frases como: Uma partícula que cai sob a influência da gravidade está sujeita a uma aceleração constante de 9,8 m. E se. Para um cientista experimental, esta especificação está incompleta. Isso significa que a aceleração está mais próxima de 9.8 do que para 9.9 ou 9.7 Significa que a aceleração está mais próxima de 9.80000 do que para 9.80001 ou 9.79999 Muitas vezes, a resposta depende do contexto. Se um carpinteiro diz que um comprimento é de apenas 8 polegadas, isso provavelmente significa que o comprimento é mais próximo de 8 016 polegadas do que para 8 116 pol. Ou 7 1516 polegadas. Se um maquinista diz que um comprimento é de apenas 200 milímetros, provavelmente significa que está mais perto de 200,00 mm do que 200,05 mm ou 199,95 mm. Todos sabemos que a aceleração devida à gravidade varia de um lugar para outro na superfície da terra. Também varia com a altura acima da superfície, e medidores de gravidade capazes de medir a variação do chão para uma mesa estão prontamente disponíveis. Além disso, qualquer medida física, como g, só pode ser determinada por meio de uma experiência, e como um aparelho experimental perfeito não existe, é impossível, mesmo em princípio, saber nunca perfeitamente. Assim, a especificação de g dada acima é útil apenas como um exercício possível para um aluno. Para dar-lhe algum significado, deve ser mudado para algo como: Um rolamento de esferas de 5 g caindo sob a influência da gravidade na Sala 126 de McLennan Physical Laboratories da Universidade de Toronto em 13 de março de 1995 a uma distância de 1,0 plusmn 0,1 M acima do chão foi medido para estar sujeito a uma aceleração constante de 9,81 msnm 0,03 m. Duas perguntas surgem sobre a medida. Primeiro, é exato, em outras palavras, o experimento funcionou corretamente e todos os fatores necessários foram levados em consideração. A resposta a isso depende da habilidade do experimentador na identificação e eliminação de todos os erros sistemáticos. Estes são discutidos na Seção 3.4. A segunda pergunta atende a precisão do experimento. Neste caso, a precisão do resultado é dada: o experimentador afirma que a precisão do resultado está dentro de 0,03 ms. As próximas duas seções ir em alguns detalhes sobre como a precisão de uma medição é determinada. No entanto, os seguintes pontos são importantes: 1. A pessoa que fez a medição provavelmente teve algum instinto para a precisão e suspendeu um erro no resultado principalmente para comunicar esse sentimento às outras pessoas. O senso comum sempre deve prevalecer sobre as manipulações matemáticas. 2. Em experimentos complicados, a análise de erros pode identificar erros dominantes e, portanto, fornecer um guia sobre onde mais esforço é necessário para melhorar um experimento. 3. Não há virtualmente nenhum caso nas ciências físicas experimentais onde a análise correta do erro é comparar o resultado com um número em algum livro. Uma experiência correta é aquela que é realizada corretamente, não uma que dá um resultado de acordo com outras medições. 4. A melhor precisão possível para uma determinada experiência é sempre limitada pelo aparelho. As medições de polarização em física de alta energia exigem dezenas de milhares de horas-pessoa e custam centenas de milhares de dólares para serem executadas e uma boa medida é de dois fatores. As experiências de eletrodinâmica são consideravelmente mais baratas, e muitas vezes dão resultados a 8 ou mais números significativos. Em ambos os casos, o experimentador deve lutar com o equipamento para obter a medição mais precisa e precisa possível. 3.1.2 Diferentes tipos de erros Como mencionado acima, existem dois tipos de erros associados a um resultado experimental: precisão e precisão. Um texto bem conhecido explica a diferença dessa maneira: a precisão da palavra estará relacionada à distribuição de erro aleatório associada a uma experiência específica ou mesmo a um tipo particular de experiência. A palavra "exactidão" deve estar relacionada com a existência de erros sistemáticos e de diferenças entre laboratórios, por exemplo. Por exemplo, pode-se realizar um tempo muito preciso, mas impreciso, com um relógio de pêndulo de alta qualidade que não tinha o comprimento certo do pêndulo. E. M. Pugh and G. H. Winslow, p. 6. O objetivo de uma boa experiência é minimizar os erros de precisão e os erros de precisão. Geralmente, um experimento dado tem um ou outro tipo de erro dominante, e o experimentador dedica o maior esforço para reduzir aquele. Por exemplo, ao medir a altura de uma amostra de gerânios para determinar um valor médio, as variações aleatórias dentro da amostra de plantas provavelmente serão muito maiores do que qualquer possível imprecisão na regra que está sendo usada. Da mesma forma, para muitas experiências nas ciências biológicas e da vida, o experimentador se preocupa mais com o aumento da precisão de suas medições. Claro, algumas experiências nas ciências biológicas e da vida são dominadas por erros de precisão. Por outro lado, na titulação de uma amostra de ácido HCl com base de NaOH usando um indicador de fenolftaleína, o maior erro na determinação da concentração original do ácido provavelmente será um dos seguintes: (1) a precisão das marcações No lado da bureta (2) o intervalo de transição do indicador de fenolftaleína ou (3) a habilidade do experimentador em dividir a última gota de NaOH. Assim, a precisão da determinação provavelmente será muito pior do que a precisão. Este é frequentemente o caso de experimentos em química, mas certamente não todos. Pergunta: A maioria dos experimentos usa fórmulas teóricas, e geralmente essas fórmulas são aproximações. O erro de aproximação é de precisão ou de precisão Existe uma extensa literatura sobre os tópicos deste capítulo. O seguinte lista algumas introduções bem conhecidas. D. C. Baird, Experimentação: Uma Introdução à Teoria da Medição e Projeto de Experiência (Prentice-Hall, 1962) E. M. Pugh e G. H. Winslow, The Analysis of Physical Measurements (Addison-Wesley, 1966) JR Taylor, uma introdução à análise de erros (University Science Books, 1982) Além disso, há um documento da web escrito pelo autor da EDA que é usado para ensinar este tópico Para o primeiro ano de graduação em física da Universidade de Toronto. O hiperlink a seguir aponta para esse documento. 3.2 Determinando a Precisão 3.2.1 O Desvio Padrão No século XIX, os assistentes de Gauss estavam fazendo medições astronômicas. No entanto, nunca foram capazes de repetir exatamente seus resultados. Finalmente, Gauss ficou com raiva e invadiu o laboratório, alegando que ele mostraria a essas pessoas como fazer as medidas de uma vez por todas. O único problema era que Gauss não conseguiu repetir suas medidas exatamente. Depois de recuperar sua compostura, Gauss fez um histograma dos resultados de uma medida particular e descobriu a famosa curva gaussiana ou em forma de sino. A introdução de muitos povos sobre esta forma é a distribuição de notas para um curso. Aqui está uma amostra de tal distribuição, usando a função EDA EDAHistogram. Usamos um pacote padrão do Mathematica para gerar uma Função de Distribuição de Probabilidade (PDF) de tal distribuição gaussiana ou normal. A média é escolhida para ser 78 e o desvio padrão é escolhido para ser 10, tanto a média como o desvio padrão são definidos abaixo. Normalmente, normalizamos a distribuição para que o valor máximo seja próximo ao número máximo no histograma e trace o resultado. Neste gráfico, é a média e é o desvio padrão. Finalmente, olhamos para o histograma e agrupamos juntos. Podemos ver a forma funcional da distribuição Gaussiana ao dar valores simbólicos da NormalDistribution. Nesta fórmula, a quantidade é chamada de média. E é chamado de desvio padrão. A média é chamada às vezes a média. A definição de é como segue. Aqui n é o número total de medidas e xi é o resultado do número de medição i. O desvio padrão é uma medida da largura do pico, o que significa que um valor maior dá um pico mais amplo. Se olharmos para a área sob a curva de - para, a área entre as barras verticais no gráfico gaussPlot, achamos que essa área é de 68% da área total. Assim, qualquer resultado xi escolhido aleatoriamente tem uma mudança 68 de estar dentro de um desvio padrão da média. Podemos mostrar isso avaliando a integral. Por conveniência, escolhemos a média para ser zero. Agora, numerificamos isso e multiplicamos por 100 para encontrar a porcentagem. O único problema com o acima é que a medição deve ser repetida um número infinito de vezes antes que o desvio padrão possa ser determinado. Se n for inferior ao infinito, pode-se apenas estimar. Para n medições, esta é a melhor estimativa. A principal diferença entre essa estimativa e a definição é o do denominador em vez de n. Isso é razoável, pois se n 1 sabemos que não podemos determinar, pois com apenas uma medida não temos como determinar quão próxima uma medida repetida pode dar o mesmo resultado. Tecnicamente, a quantidade é o número de graus de liberdade da amostra de medidas. Aqui está um exemplo. Suponhamos que devamos determinar o diâmetro de um pequeno cilindro usando um micrômetro. Repetimos a medida 10 vezes ao longo de vários pontos no cilindro e obtemos os seguintes resultados, em centímetros. O número de medições é o comprimento da lista. A média ou média agora é calculada. Então, o desvio padrão é estimado em 0,00185173. Repetimos o cálculo em um estilo funcional. Observe que o pacote StatisticsDescriptiveStatistics, que é padrão com o Mathematica. Inclui funções para calcular todas essas quantidades e muito mais. Nós fechamos com dois pontos: 1. O desvio padrão foi associado ao erro em cada medida individual. A seção 3.3.2 discute como encontrar o erro na estimativa da média. 2. Este cálculo do desvio padrão é apenas uma estimativa. Na verdade, podemos encontrar o erro esperado na estimativa, (o erro na estimativa). Conforme discutido em mais detalhes na Seção 3.3, isso significa que o verdadeiro desvio padrão provavelmente está na gama de valores. Visto desta maneira, é claro que os últimos dígitos nos números acima ou não têm significado e, portanto, não são realmente significativos. Uma função EDA ajusta essas figuras significativas com base no erro. AdjustSignificantFigures é discutido mais adiante na Seção 3.3.1. 3.2.2 O erro de leitura Existe outro tipo de erro associado a uma quantidade medida diretamente, denominada erro de leitura. Referindo-se novamente ao exemplo da Seção 3.2.1, as medidas do diâmetro foram realizadas com um micrómetro. O micrômetro específico usado teve divisões de escala a cada 0,001 cm. No entanto, foi possível estimar a leitura do micrômetro entre as divisões, e isso foi feito neste exemplo. Mas, há um erro de leitura associado a essa estimativa. Por exemplo, o primeiro ponto de dados é 1.6515 cm. Poderia ter sido 1.6516 cm em vez disso Como cerca de 1.6519 cm Não há uma regra fixa para responder à pergunta: a pessoa que faz a medição deve adivinhar o quão bem ele ou ela pode ler o instrumento. Uma estimativa razoável do erro de leitura desse micrômetro pode ser de 0,0002 cm em um bom dia. Se o experimentador estivesse atrasado na noite anterior, o erro de leitura pode ser de 0,0005 cm. Uma questão importante e às vezes difícil é se o erro de leitura de um instrumento é distribuído aleatoriamente. Erros de leitura aleatórios são causados ​​pela precisão finita do experimento. Se um experimentador sempre lê o micrômetro 1 cm inferior ao valor real, então o erro de leitura não é aleatório. Para um instrumento digital, o erro de leitura é plusmn metade do último dígito. Observe que isso pressupõe que o instrumento foi projetado corretamente para redirecionar uma leitura corretamente no visor. Até agora, encontramos dois erros diferentes associados a uma quantidade medida diretamente: o desvio padrão e o erro de leitura. Então, qual é o verdadeiro erro real de precisão na quantidade A resposta é ambas No entanto, felizmente, quase sempre acontece que um será maior que o outro, então o menor dos dois pode ser ignorado. No exemplo de diâmetro utilizado nesta secção, verificou-se que a estimativa do desvio padrão era 0,00185 cm, enquanto o erro de leitura era apenas de 0,0002 cm. Assim, podemos usar a estimativa de desvio padrão para caracterizar o erro em cada medida. Outra maneira de dizer o mesmo é que a propagação de valores observada neste exemplo não é contabilizada pelo erro de leitura. Se o spread observado fosse mais ou menos explicado pelo erro de leitura, não seria necessário estimar o desvio padrão, uma vez que o erro de leitura seria o erro em cada medida. Claro, tudo nesta seção está relacionado à precisão do experimento. A discussão da exatidão do experimento está na Seção 3.4. 3.2.4 Rejeição de medidas Muitas vezes, ao repetir as medidas, um valor parece ser espúrio e gostaríamos de descartá-lo. Além disso, ao fazer uma série de medidas, às vezes um valor aparece fora de linha. Aqui discutimos algumas diretrizes sobre a rejeição de medidas mais informações aparece no capítulo 7. É importante enfatizar que todo o tópico de rejeição de medições é estranho. Alguns cientistas sentem que a rejeição de dados nunca é justificada, a menos que haja provas externas de que os dados em questão estão incorretos. Outros cientistas tentam lidar com este tópico usando regras quase objetivas, como Critério de Chauvenet. Outros, muitas vezes incorretamente, descartam os dados que parecem estar incorretos. Nesta seção, alguns princípios e diretrizes são apresentados, informações adicionais podem ser encontradas em muitas referências. Primeiro, notamos que é incorreto esperar que cada medida se sobreponha dentro de erros. Por exemplo, se o erro em uma determinada quantidade é caracterizado pelo desvio padrão, só esperamos que 68 das medidas de uma população normalmente distribuída estejam dentro de um desvio padrão da média. Noventa e cinco por cento das medições estarão dentro de dois desvios padrão, 99 dentro de três desvios padrão, etc., mas nunca esperamos que 100 das medições se sobreponham dentro de qualquer erro de tamanho finito para uma distribuição verdadeiramente gaussiana. É claro que, para a maioria dos experimentos, a suposição de uma distribuição Gaussiana é apenas uma aproximação. Se o erro em cada medida for considerado o erro de leitura, novamente, nós apenas esperamos que a maioria, nem todas as medidas, se sobreponham nos erros. Neste caso, o significado da maioria, porém, é vago e depende do optimismoconservado do experimentador que atribuiu o erro. Assim, é sempre perigoso jogar fora uma medida. Talvez não tenhamos a menor chance de fazer uma medida válida que represente dez desvios padrão da média da população. Uma medida válida a partir das colas da distribuição subjacente não deve ser descartada. É ainda mais perigoso lançar um ponto suspeito indicativo de um processo físico subjacente. Muito pouco ciência seria conhecida hoje se o experimentador sempre jogou para fora medições que não correspondem às expectativas preconcebidas Em geral, existem dois tipos diferentes de dados experimentais recolhidos em um laboratório ea questão de rejeitar medições é tratada de maneiras ligeiramente diferentes para cada um. Os dois tipos de dados são os seguintes: 1. Uma série de medidas tomadas com uma ou mais variáveis ​​mudou para cada ponto de dados. Um exemplo é a calibração de um termopar, em que a tensão de saída é medida quando o termopar está em várias temperaturas diferentes. 2. Medições repetidas da mesma quantidade física, com todas as variáveis ​​mantidas constantes como experimentalmente possível. Um exemplo é a medida da altura de uma amostra de gerânios cultivados em condições idênticas a partir do mesmo lote de estoque de sementes. Para uma série de medidas (caso 1), quando um dos pontos de dados está fora de linha, a tendência natural é descartá-lo. Mas, como já mencionado, isso significa que você está assumindo o resultado que você está tentando medir. Como regra geral, a menos que haja uma explicação física de por que o valor suspeito é espúrio e não é mais do que três desvios padrão longe do valor esperado, provavelmente deve ser mantido. O capítulo 7 trata mais adiante desse caso. Para medidas repetidas (caso 2), a situação é um pouco diferente. Digamos que você está medindo o tempo para um pendulo sofrer 20 oscilações e você repete a medida cinco vezes. Suponha que quatro destes ensaios estão dentro de 0,1 segundos uns dos outros, mas o quinto ensaio difere destes 1,4 segundos (isto é, mais de três desvios padrão longe da média dos bons valores). Não há nenhuma razão conhecida por que essa medida difere de todas as demais. No entanto, você pode ser justificado em jogá-lo fora. Diga isso, desconhecido para você, assim como essa medida estava sendo tomada, uma onda de gravidade varreu sua região do espaço-tempo. No entanto, se você estiver tentando medir o período do pêndulo quando não há ondas de gravidade que afetem a medida, então, jogar fora esse resultado é razoável. (Embora tentar repetir a medição para descobrir a existência de ondas de gravidade será certamente mais divertido) Então, independentemente da razão para um valor suspeito, a regra de ouro é que ele pode ser jogado fora desde que o fato é bem documentado e que a medida É repetido várias vezes mais para convencer o experimentador de que heshe não está jogando fora um dado importante que indica um novo processo físico. 3.3 Propagação de Erros de Precisão 3.3.1 Discussão e Exemplos Geralmente, erros de precisão são probabilísticos. Isso significa que o experimentador está dizendo que o valor real de algum parâmetro provavelmente está dentro de um intervalo especificado. Por exemplo, se a meia largura da faixa é igual a um desvio padrão, então a probabilidade é de cerca de 68 que, durante a experimentação repetida, a média verdadeira cairá dentro da faixa se a meia largura da faixa for o dobro do desvio padrão, a probabilidade É 95, etc. Se tivermos duas variáveis, diga x e y. E quer combiná-los para formar uma nova variável, queremos que o erro na combinação preserve essa probabilidade. O procedimento correto para fazer isso é combinar erros em quadratura, que é a raiz quadrada da soma dos quadrados. A EDA fornece uma função em quadratura. Para combinações simples de dados com erros aleatórios, o procedimento correto pode ser resumido em três regras. X, y, z representarão os erros de precisão em x. Y. E z. respectivamente. Assumimos que xey são independentes um do outro. Observe que todas as três regras assumem que o erro, digamos x. É pequeno em comparação com o valor de x. Regra 1: Multiplicação e Divisão O EDA inclui funções para combinar dados usando as regras acima. Eles são chamados TimesWithError. PlusWithError. DivideWithError. SubtractWithError. E PowerWithError. Imagine que temos dados de pressão, medidos em centimetros de Hg, e dados de volume medidos em unidades arbitrárias. Cada ponto de dados consiste em valor. Pares de erros. Calculamos a pressão do volume. No acima, os valores de p e v foram multiplicados e os erros foram combinados usando a Regra 1. Existe um formulário equivalente para este cálculo. Considere o primeiro dos dados de volume:. O erro significa que o valor verdadeiro é reivindicado pelo experimentador para provavelmente situar-se entre 11,25 e 11,31. Assim, todos os números significativos apresentados à direita de 11,28 para esse ponto de dados realmente não são significativos. A função AdjustSignificantFigures ajustará os dados de volume. Observe que, por padrão, AdjustSignificantFigures usa os dois dígitos mais significativos no erro para ajustar os valores. Isso pode ser controlado com a opção ErrorDigits. Na maioria dos casos, o padrão de dois dígitos é razoável. Conforme discutido na Seção 3.2.1, se assumirmos uma distribuição normal para os dados, então o erro fracionário na determinação do desvio padrão depende do número de pontos de dados utilizados em seu cálculo, n. E pode ser escrito da seguinte forma. Assim, usando isto como uma regra geral para todos os erros de precisão, a estimativa do erro é apenas bom para 10, (ou seja, um valor significativo, a menos que n seja maior que 51). No entanto, manter duas figuras importantes lida com casos como 0,035 vs. 0,030, onde algum significado pode ser anexado ao dígito final. Você deve estar ciente de que quando um datum é massageado por AdjustSignificantFigures. Os dígitos extras são descartados. Por padrão, TimesWithError e as outras funções WithError usam a função AdjustSignificantFigures. O uso de AdjustSignificantFigures é controlado usando a opção UseSignificantFigures. O número de dígitos pode ser ajustado. Para formar um poder, digamos, podemos ser tentados a apenas fazer. O motivo pelo qual isso está errado é que estamos assumindo que os erros nas duas quantidades combinadas são independentes um do outro. Aqui, há apenas uma variável. O procedimento correto aqui é dado pela Regra 3 como discutido anteriormente, que reescrevemos. Isso é implementado na função PowerWithError. Finalmente, imagine que por algum motivo desejamos formar uma combinação. Podemos ser tentados a resolver isso com o seguinte. Novamente, isso é errado porque os dois termos na subtração não são independentes. Na verdade, a regra geral é que, se o erro for aqui, é um exemplo de resolução de pv - 4.9v. Devemos usar x e y abaixo para evitar substituir os símbolos p e v. Primeiro, calculamos a derivada total. Em seguida, formamos o erro. Agora podemos avaliar usando os dados de pressão e volume para obter uma lista de erros. Em seguida, formamos a lista de pares. A função CombineWithError combina essas etapas com o ajuste de figura significativo padrão. A função pode ser usada em lugar das outras funções WithError discutidas acima. Neste exemplo, a função TimesWithError será um pouco mais rápida. Existe uma advertência ao usar CombineWithError. A expressão deve conter apenas símbolos, constantes numéricas e operações aritméticas. Caso contrário, a função será incapaz de tomar as derivadas da expressão necessária para calcular a forma do erro. As outras funções WithError não possuem essa limitação. 3.3.1.1 Outra Abordagem à Propagação de Erros: As Construções de Dados e Dados A EDA fornece outro mecanismo para propagação de erros. Ao declarar as listas de pares serem do tipo Data. A propagação de erros é tratada automaticamente. O invólucro de dados pode ser removido. A razão pela qual a saída dos dois comandos anteriores foi formatada como OutputForm é que EDA typesets os pares usando plusmn para saída StandardForm. Uma construção Datum similar pode ser usada com pontos de dados individuais. Assim como para dados. A composição padrão do padrão Datum usa plusmn. As construções Data e Datum fornecem propagação automática de erros para multiplicação, divisão, adição, subtração e elevação para uma potência. Outra vantagem dessas construções é que as regras incorporadas na EDA sabem como combinar dados com constantes. As regras também sabem como propagar erros para muitas funções transcendentais. Esta regra pressupõe que o erro é pequeno em relação ao valor, para que possamos nos aproximar. As funções transcendentais, que podem aceitar argumentos Data ou Datum, são fornecidas por DataFunctions. Vimos que a EDA tipifica as construções Data e Datum usando plusmn. A função PlusMinus pode ser usada diretamente, e desde que seus argumentos sejam numéricos, os erros serão propagados. Pode-se escrever a plusmn na expressão de entrada, e os erros serão novamente propagados. O mecanismo de entrada plusmn pode combinar termos por adição, subtração, multiplicação, divisão, elevando a uma potência, adição e multiplicação por um número constante, e uso das funções de dados. As regras usadas pela EDA para plusmn são apenas para argumentos numéricos. Isso torna o PlusMinus diferente do Datum. 3.3.1.2 Por que Quadratura Aqui justificamos a combinação de erros em quadratura. Embora não sejam provas no sentido matemático prístino usual, elas são corretas e podem ser rigorosas se desejado. Em primeiro lugar, você já pode saber sobre o Random Walk problema em que um jogador começa no ponto x 0 e em cada movimento passos para a frente (em direção a x) ou para trás (em direção a - x). A escolha da direção é feita aleatoriamente para cada movimento, digamos, lançando uma moeda. Se cada passo abrange uma distância L. Então após n passos a distância mais provável esperada do jogador da origem pode ser mostrado para ser Assim, a distância sobe como a raiz quadrada do número de etapas. Agora considere uma situação onde n medições de uma quantidade x são realizadas, cada uma com um erro aleatório idêntico x. Encontramos a soma das medidas. Mas a soma dos erros é muito semelhante à caminhada aleatória: embora cada erro tenha magnitude x. É igualmente provável que seja x como - x. E que é essencialmente aleatório. Assim, o erro mais provável esperado na soma aumenta como a raiz quadrada do número de medições. This is exactly the result obtained by combining the errors in quadrature. Another similar way of thinking about the errors is that in an abstract linear error space, the errors span the space. If the errors are probabilistic and uncorrelated, the errors in fact are linearly independent (orthogonal) and thus form a basis for the space. Thus, we would expect that to add these independent random errors, we would have to use Pythagoras theorem, which is just combining them in quadrature. 3.3.2 Finding the Error in an Average The rules for propagation of errors, discussed in Section 3.3.1, allow one to find the error in an average or mean of a number of repeated measurements. Recall that to compute the average, first the sum of all the measurements is found, and the rule for addition of quantities allows the computation of the error in the sum. Next, the sum is divided by the number of measurements, and the rule for division of quantities allows the calculation of the error in the result ( i. e., the error of the mean). In the case that the error in each measurement has the same value, the result of applying these rules for propagation of errors can be summarized as a theorem. Theorem: If the measurement of a random variable x is repeated n times, and the random variable has standard deviation errx. then the standard deviation in the mean is errx . Proof: One makes n measurements, each with error errx . We calculate the sum. sumx x1 x2 . xn We calculate the error in the sum. This last line is the key: by repeating the measurements n times, the error in the sum only goes up as Sqrt n . The mean is given by the following. Applying the rule for division we get the following. This may be rewritten. This completes the proof. The quantity called is usually called the standard error of the sample mean (or the standard deviation of the sample mean). The theorem shows that repeating a measurement four times reduces the error by one-half, but to reduce the error by one-quarter the measurement must be repeated 16 times. Aqui está um exemplo. In Section 3.2.1, 10 measurements of the diameter of a small cylinder were discussed. The mean of the measurements was 1.6514 cm and the standard deviation was 0.00185 cm. Now we can calculate the mean and its error, adjusted for significant figures. Note that presenting this result without significant figure adjustment makes no sense. The above number implies that there is meaning in the one-hundred-millionth part of a centimeter. Here is another example. Imagine you are weighing an object on a dial balance in which you turn a dial until the pointer balances, and then read the mass from the marking on the dial. You find m 26.10 plusmn 0.01 g. The 0.01 g is the reading error of the balance, and is about as good as you can read that particular piece of equipment. You remove the mass from the balance, put it back on, weigh it again, and get m 26.10 plusmn 0.01 g. You get a friend to try it and she gets the same result. You get another friend to weigh the mass and he also gets m 26.10 plusmn 0.01 g. So you have four measurements of the mass of the body, each with an identical result. Do you think the theorem applies in this case If yes, you would quote m 26.100 plusmn 0.01 Sqrt 4 26.100 plusmn 0.005 g. How about if you went out on the street and started bringing strangers in to repeat the measurement, each and every one of whom got m 26.10 plusmn 0.01 g. So after a few weeks, you have 10,000 identical measurements. Would the error in the mass, as measured on that 50 balance, really be the following The point is that these rules of statistics are only a rough guide and in a situation like this example where they probably dont apply, dont be afraid to ignore them and use your uncommon sense. In this example, presenting your result as m 26.10 plusmn 0.01 g is probably the reasonable thing to do. 3.4 Calibration, Accuracy, and Systematic Errors In Section 3.1.2, we made the distinction between errors of precision and accuracy by imagining that we had performed a timing measurement with a very precise pendulum clock, but had set its length wrong, leading to an inaccurate result. Here we discuss these types of errors of accuracy. To get some insight into how such a wrong length can arise, you may wish to try comparing the scales of two rulers made by different companies mdash discrepancies of 3 mm across 30 cm are common If we have access to a ruler we trust ( i. e., a calibration standard), we can use it to calibrate another ruler. One reasonable way to use the calibration is that if our instrument measures xO and the standard records xS . then we can multiply all readings of our instrument by xS xO . Since the correction is usually very small, it will practically never affect the error of precision, which is also small. Calibration standards are, almost by definition, too delicate andor expensive to use for direct measurement. Aqui está um exemplo. We are measuring a voltage using an analog Philips multimeter, model PM240002. The result is 6.50 V, measured on the 10 V scale, and the reading error is decided on as 0.03 V, which is 0.5. Repeating the measurement gives identical results. It is calculated by the experimenter that the effect of the voltmeter on the circuit being measured is less than 0.003 and hence negligible. However, the manufacturer of the instrument only claims an accuracy of 3 of full scale (10 V), which here corresponds to 0.3 V. Now, what this claimed accuracy means is that the manufacturer of the instrument claims to control the tolerances of the components inside the box to the point where the value read on the meter will be within 3 times the scale of the actual value. Furthermore, this is not a random error a given meter will supposedly always read too high or too low when measurements are repeated on the same scale. Thus, repeating measurements will not reduce this error. A further problem with this accuracy is that while most good manufacturers (including Philips) tend to be quite conservative and give trustworthy specifications, there are some manufacturers who have the specifications written by the sales department instead of the engineering department. And even Philips cannot take into account that maybe the last person to use the meter dropped it. Nonetheless, in this case it is probably reasonable to accept the manufacturers claimed accuracy and take the measured voltage to be 6.5 plusmn 0.3 V. If you want or need to know the voltage better than that, there are two alternatives: use a better, more expensive voltmeter to take the measurement or calibrate the existing meter. Using a better voltmeter, of course, gives a better result. Say you used a Fluke 8000A digital multimeter and measured the voltage to be 6.63 V. However, youre still in the same position of having to accept the manufacturers claimed accuracy, in this case (0.1 of reading 1 digit) 0.02 V. To do better than this, you must use an even better voltmeter, which again requires accepting the accuracy of this even better instrument and so on, ad infinitum, until you run out of time, patience, or money. Say we decide instead to calibrate the Philips meter using the Fluke meter as the calibration standard. Such a procedure is usually justified only if a large number of measurements were performed with the Philips meter. Why spend half an hour calibrating the Philips meter for just one measurement when you could use the Fluke meter directly We measure four voltages using both the Philips and the Fluke meter. For the Philips instrument we are not interested in its accuracy, which is why we are calibrating the instrument. So we will use the reading error of the Philips instrument as the error in its measurements and the accuracy of the Fluke instrument as the error in its measurements. We form lists of the results of the measurements. We can examine the differences between the readings either by dividing the Fluke results by the Philips or by subtracting the two values. The second set of numbers is closer to the same value than the first set, so in this case adding a correction to the Philips measurement is perhaps more appropriate than multiplying by a correction. We form a new data set of format philips, cor2 . We can guess, then, that for a Philips measurement of 6.50 V the appropriate correction factor is 0.11 plusmn 0.04 V, where the estimated error is a guess based partly on a fear that the meters inaccuracy may not be as smooth as the four data points indicate. Thus, the corrected Philips reading can be calculated. (You may wish to know that all the numbers in this example are real data and that when the Philips meter read 6.50 V, the Fluke meter measured the voltage to be 6.63 plusmn 0.02 V.) Finally, a further subtlety: Ohms law states that the resistance R is related to the voltage V and the current I across the resistor according to the following equation. Imagine that we are trying to determine an unknown resistance using this law and are using the Philips meter to measure the voltage. Essentially the resistance is the slope of a graph of voltage versus current. If the Philips meter is systematically measuring all voltages too big by, say, 2, that systematic error of accuracy will have no effect on the slope and therefore will have no effect on the determination of the resistance R . So in this case and for this measurement, we may be quite justified in ignoring the inaccuracy of the voltmeter entirely and using the reading error to determine the uncertainty in the determination of R . 3.5 Summary of the Error Propagation Routines